نخستین بار ،موضوع قابلیت اعتماد در حین جنگ جهانی دوم مطرح شد ،قابلیت اعتماد تا حد زیادی کاربرد علم آمار را در علوم فنی روشن می سازد.به ویژه اینکه کاربرد آمار را در   فعالیت های عملی بیان می کند.

در دنیای امروز تلاش کلیه سازندگان سیستم های الکترونیکی و … بر این است که با بهره گیری از تکنولوژی پیشرفته،ضریب اطمینان محصولات خود را بالاتر ببرند به ویژه با توجه به رقابت  موجود در دنیای صنعت محصولی موفق تر است که عمر بیشتر و کارکرد بالاتری داشته باشد.

ما برای رسیدن به این هدف از آمار بهره گرفته ایم تا با بهره گرفتن از علم احتمالات ضریب اطمینان و متوسط طول عمر هر محصول را از لحاظ زمانی محاسبه کنیم و با مقایسه آن با سایر محصولات تصمیمی درست در مورد کیفیت یک محصول بگیریم.

علاوه بر آن در هر مرحله سعی می کنیم محصولی را تولید کنیم که از لحاظ آماری عمر مفید تر و کارکرد بالاتری نسبت به مرحله قبل داشته باشد.

ما در این پایان نامه،برای یکی از این دستگاه ها دو مدل را پیشنهاد می کنیم که با توجه به این مدل ها و محاسبات آماری لازم در مورد این مدل ها ،روشن می شود که مدل سازی و بهره گیری از علم آمار و احتمال تا چه حد در بالا بردن کیفیت این گونه محصولات می تواند مفید باشد.

فهرست مطالب

             عنوان                                                                                                                     صفحه

                   فصل اول: پیش نیازها                                                                                              1

• تعاریف ………………………………………………………………………………………………………….2

• فرایند تجدید و زنجیره های مارکف …………………………………………………………………..8

               فصل دوم: طرح و بررسی دو مدل تصادفی در حوزه قابلیت اعتماد                     12

• طراحی و بررسی دو مدل تصادفی و نمودار دو مدل………………………………………………13

• نماد گذاری ………………………………………………………………………………………………… 18

               فصل سوم : بررسی مدل اول در حوزه قابلیت اعتماد                                              20

• شرح و بیان مدل اول ……………………………………………………………………………………21

• ماتریس آهنگ ها (نرخ های )انتقال…………………………………………………………………22

• احتمالات انتقال و زمان های توقف (کوتاه) ………………………………………………………..23

• ماتریس احتمال انتقال …………………………………………………………………………………..26

• میانگین زمان های اقامت در حالتهای مختلف ………………………………………………………26

• مدت زمان لازم تا خراب شدن سیستم………………………………………………………………27

• تحلیل موجودیت ………………………………………………………………………………………..33

• تحلیل دوره مشغولیت …………………………………………………………………………………..36

• امید ریاضی تعداد تعمیرات ……………………………………………………………………………38

                  فصل چهارم : بررسی مدل دوم در حوزه قابلیت اعتماد                                            40

• شرح و بیان مدل دوم ……………………………………………………………………………………41

• ماتریس آهنگ ها (نرخ های ) انتقال ……………………………………………………………….43

• احتمالات انتقال و زمان های توقف (کوتاه) ………………………………………………………..43

• ماتریس احتمال انتقال …………………………………………………………………………………..44

• میانگین زمان های اقامت در حالتهای مختلف ………………………………………………………44

• مدت زمان لازم تا خراب شدن سیستم………………………………………………………………45

• تحلیل موجودیت ………………………………………………………………………………………..48

• تحلیل دوره مشغولیت …………………………………………………………………………………..51

• امید ریاضی تعداد تعمیرات ……………………………………………………………………………53

فصل پنجم : نمودارهای مقایسهای دو مدل تصادفی                                                                 55

                 واژنامۀ انگلیسی به فارسی ………………………………………………………………………..62

                 فهرست مراجع ………………………………………………………………………………..65   

مفاهیم و مقدمات فرایند های تصادفی

 1-1 تعاریف

تعریف 1-1-1. مجموعه اندیس¹: مجموعه  را فضای پارامتر یا مجموعه اندیس می‌‌گوییم.

 مجموعه اندیسگذار  میتواند چند بعدی باشد، به عنوان مثال امواج اقیانوسها، میتوان  را طول و عرض جغرافیایی گرفت، و در این صورت،  ارتفاع موج در موضع  میباشد. [11]

مقادیر  ممکن است یک بعدی، دو بعدی، یا  بعدی و یا حتی کلیتر باشد.

تعریف 1-1-2. فرایند تصادفی²: هر گاه  یک مجموعه اندیسگذار و برای هر ، یک متغیر تصادفی باشد، گردایهی  را  اصطلاحا یک فرایند تصادفی میگوییم. [11]

تعریف 1-1-3. فضای حالت³: مجموعه ، شامل کلیه مقادیر مختلفی که  به ازای هر  اختیار میکند، فضای حالت² فرایند تصادفی می‌‌گوییم. [11]

تعریف 1-1-4. فرایند گسسته⁴ و فرایند پیوسته⁵: در صورتیکه مجموعه‌ای شمارا باشد فرایند را گسسته و در غیر این صورت فرایند را پیوسته  می‌‌گوییم. [11]

 به عبارت دیگر هرگاه ، آنگاه همواره میگوییم  یک فرایند تصادفی با زمان گسسته است. هرگاه  ، یک فرایند با زمان پیوسته است.

1- Index Set                  2- Stochastic Process                            3- State Space

4 – Discrete                   5 -Continuous

تعریف 1-1-5. فرایند با حالت گسسته، فرایند با حالت پیوسته: اگر فضای حالت یک فرایند شمارا باشد فرایند را با حالت گسسته و در غیر این صورت فرایند را با حالت پیوسته گوییم.[11]

 در حالتی که ، فرایند مربوطه را با مقدار صحیح یا یک فرایند با وضعیت گسسته مینامیم. هرگاه  خط حقیقی  باشد، آنگاه  را یک فرایند تصادفی با مقدار حقیقی مینامیم. هرگاه  یک فضای اقلیدسی بعدی باشد، آنگاه گوییم  یک فرایند برداری بعدی است.

مثال 1-1-1: برای یک فرایند تصادفی که نمایانگر امتیازات در یک مسابقه فوتبال میباشد فضای پارامتر و فضای حالت را مشخص کنید. [13]

حل: فضای حالت  در این فرایند عبارت است از تعداد گل هایی که بین دو تیم رد و بدل میشود یا به عبارت دیگر:                                                          

اگر زمان را برحسب دقیقه اندازه بگیریم، فضای پارامتر  عبارت است از . فرایند در وضعیت  شروع میشود و هر زمانی که گلی به ثمر برسد انتقالی بین حالتهای  صورت میگیرد. به ثمر رسیدن یک گل، مقدار  یا  را به اندازهی یک واحد افزایش میدهد و لذا امتیاز  به  یا  تغییر خواهد یافت.

مثال 1-1-2: کارخانهای دارای دو ماشین تراش است ولی هر روز یکی از آن ها مورد استفاده قرار میگیرد. احتمال ثابتی برای خراب شدن این ماشین تراش وجود دارد، و اگر خرابی ماشین پیش بیاید، این اتفاق در پایان روز رخ خواهد داد. یک تعمیرکار در این رابطه در استخدام کارخانه است. تعمیر هر ماشین دو روز به طول میانجامد. یک فرایند تصادفی طرح کنید که عملکرد این  کارخانه را توضیح دهد. [13]

حل: انتخاب متغیر تصادفی در این مسأله مهم است. مقدار این متغیر تنها در انتهای روز بررسی میشود زیرا کلیهی انتقالات در آخر روز صورت میگیرد. فضای پارامتر  مجموعهی روزهای فعال هفته میباشد که سیستم در حال بهرهبرداری است. اگر اولین روز را 1 و دومین روز را 2 و به همین ترتیب بقیه روزها را شماره گذاری کنیم خواهیم داشت:                             

فرایند تصادفی مناسب این کارخانه عبارت است از ، که  نمایانگر تعداد روزهای لازم برای تعمیر ماشینها است و مقدار آن در پایان روز  ثبت میشود. اگر هر دو ماشین قابل استفاده باشند  صفر خواهد بود.

اگر یکی از ماشینها سالم و ماشین خراب یک روز تحت تعمیر باشد                             

اگر یک ماشین سالم و ماشین دوم اخیراً خراب شده باشد                                             

اگر یک ماشین اخیراً خراب شده باشد و ماشین خراب دومی یک روز تحت تعمیر باشد

وضعیتهای ذکر شده موارد ممکنه هستند پس فضای وضعیت عبارت است از:       

مثال 1-1-3 : فرایند پیوسته با حالت پیوسته[9]:

مثال 1-1-4 : فرایند پیوسته با حالت گسسته[9]:

مثال 1-1-5 : فرایند گسسته  با حالت پیوسته [9]:

مثال 1-1-6 : فرایند گسسته  با حالت گسسته[9]:

تعریف 1-1-6. فرایند دارای نمو مستقل¹: هر گاه  یک فرایند تصادفی باشد و به ازای جمیع که  متغیرهای تصادفی  مستقل از هم باشند، فرایند را دارای نموهای مستقل گوییم. به عبارت دیگر فرایند تصادفی  دارای نموهای مستقل است هرگاه متغیرهای تصادفی  از هم مستقل باشند. [11]

تعریف 1-1-7 . فرایند دارای نمو مستقل مانا²: هر گاه برای هر  و هر متغیرهای تصادفی  هم توزیع